Fokussieren & Kollimieren

Strahlenoptik

Wir beginnen unsere Einführung in den Einsatz von Linsen zur Lösung optischer Aufgabenstellungen mit den Grundlagen der Strahlenoptik. In Abbildung 1 ist ein einfacher Strahlweg mit einer ideal dünnen Linse und dem erzeugten Bild dargestellt. Die Objektgröße ist y1, die Objektweite (Entfernung von der Linse) s1 und die Brennweite f. Die Linse erzeugt auf der anderen Seite ein Bild mit der Bildgröße y2 und der Bildweite s2.

Mit ideal dünner Linse bezeichnet man Linsen, die so dünn sind, dass die Dicke keinen Einfluss auf die Brennweite der Linse hat. In diesem Fall lässt sich die Brechung des Lichtstrahls als Brechung an der Mittelebene der Linse darstellen (s. Abb. 1). In den folgenden Betrachtungen setzen wir voraus, dass wir mit ideal dünnen Linsen arbeiten. Als Einführung ist diese Betrachtung völlig ausreichend. Aberrationen und andere bei dicken Linsen auftretende Effekte werden hier nicht behandelt.
In Abbildung 1 sind drei Strahlen dargestellt. Mit je zwei dieser Strahlen lässt sich die Größe und Position des Bildes eindeutig bestimmen. Der erste Strahl führt vom Objekt parallel zur optischen Achse bis zur Linse. Hinter der Linse schneidet der durch die Linse gebrochene Strahl die optische Achse im Abstand f. Der zweite Strahl schneidet die optische Achse objektseitig im Abstand f und wird durch die Linse so gebrochen, dass er bildseitig achsenparallel verläuft. Der dritte Strahl schneidet die Linse in der Mitte. Da die Grenzflächen der Linse senkrecht zur optischen Achse stehen und die Linse sehr dünn ist, ist die Brechung des Strahls innerhalb der Linse vernachlässigbar.
Wir setzen nicht nur eine ideal dünne Linse voraus, sondern arbeiten auch in der paraxialen Näherung, d.h. alle Winkel sind klein und wir können sinθ durch θ ersetzen.

Vergrößerung

Die Vergrößerung durch eine Linse lässt sich mit elementarer Geometrie beschreiben. In Abbildung 2 ist derselbe Strahlweg dargestellt und einige Strahlsegmente sind hervorgehoben. Der mittlere Strahl schneidet die optische Achse in der Mitte der Linse unter dem Winkel f. Da die gegenüberliegenden Winkel zweier sich schneidender Geraden gleich groß sind, ergeben sich zwei ähnliche Dreiecke. Setzt man die Seitenverhältnisse ein, ergibt sich folgende Gleichung:
f= y1/s1 = y2/s2
Durch Umstellung erhält man
y2/y1 = s2/s1 = M.
M ist die Vergrößerung des Objektes durch die Linse. Die Vergrößerung ist das Verhältnis der Bildgröße zur Objektgröße, aber auch das Verhältnis der Bildweite zur Objektweite.

FIGURE2R-SAbbildung 2

Durch die Vergrößerung wird die Geometrie eines optischen Systems grundsätzlich festgelegt. Will man mit einem optischen System mit gegebener Gesamtlänge eine bestimmte Vergrößerung erreichen, gibt es nur eine einzige mögliche Linsenposition. Von Vorteil ist, dass man die Objekt- und Bildgröße nicht direkt messen muss, um die Vergrößerung zu ermitteln, da diese von der Geometrie des Abbildungssystems bestimmt ist.

Gaußsche Linsengleichung

Schauen wir uns noch einmal unseren Strahlweg an. In Abbildung 3 betrachten wir die optische Achse und den Strahl, der durch den objektseitigen Brennpunkt verläuft. Hier handelt es sich wieder um zwei ähnliche Dreiecke mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt und dem Winkel h. Daraus ergibt sich y2/f = y1/(s1-f).
Durch Umstellung und Einsetzen der Vergrößerung erhält man
y2/y1 = s2/s1 = f/(s1-f).
Durch weitere Umformung erhält man dann
1/f = 1/s1 + 1/s2.
Dies ist die Gaußsche Linsengleichung. Diese Gleichung stellt die grundlegende Beziehung zwischen der Brennweite der Linse und der Größe des optischen Systems her. Durch Angabe der gewünschten Vergrößerung ergibt sich mit der Gaußschen Linsengleichung ein System mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten (f, s1 und s2). Durch Hinzufügen einer weiteren Bedingung lassen sich die drei Variablen eindeutig bestimmen.
Diese weitere Bedingung ist häufig die Brennweite der Linse (f) oder der Abstand zwischen Objekt und Bild. In diesem Fall ist die Summe s1 + s2 durch die vorgegebene Größe des Systems gegeben. In jedem Fall lassen sich alle drei Variablen eindeutig bestimmen.

FIGURE3R-SAbbildung 3

Optische Invariante

Im Folgenden betrachten wir einen Strahl, der beliebig durch das optische System verläuft. In Abbildung 4 ist dieser Strahl dargestellt. Wir haben den maximalen Strahl ausgewählt, d. h. der Strahlwinkel zwischen Strahl und optischer Achse am Objekt ist maximal und der Strahl tritt am Rande der nutzbaren Apertur durch die Linse. Einerseits lässt sich damit am besten verdeutlichen, was in dem System geschieht, und andererseits ist dieser maximale Strahl für die Entwicklung einer Anwendung entscheidend. Für unsere Betrachtung ist die Wahl des Strahles willkürlich, wir könnten die folgenden Gesetzmäßigkeiten an jedem beliebigen Strahl zeigen.

FIGURE4R-SAbbildung 4

Der Strahl tritt im Abstand x von der optischen Achse durch die Linse. Aus geometrischen Überlegungen und unter Verwendung der Vergrößerungsdefinition folgt
θ1 = x/s1 und θ2 = x/s2 = (x/s1)(y1/y2).
Durch Umstellen erhält man
y2θ2 = y1θ1.
Dieser Zusammenhang ist ein Grundgesetz der Optik. In jedem optischen Linsensystem ist das Produkt aus Bildgröße und Strahlwinkel eine Konstante oder Invariante des Systems. Genannt wird dies die optische Invariante. Dies gilt für Systeme mit beliebig vielen Linsen, was sich durch die zeichnerische Darstellung mit mehreren Linsen belegen ließe.
Es gilt jedoch nur in paraxialer Näherung. Außerdem haben wir bei unserer Betrachtung perfekte Linsen ohne Aberration vorausgesetzt. Beziehen wir nun die tatsächlich existierende Aberration in unsere Betrachtung mit ein, müssen wir das Gleichzeichen in der Invariantengleichung durch ein Größer-Gleich-Zeichen ersetzen. Denn Aberationen können das Produkt vergrößern, können es jedoch nie verkleinern.