Optische Formeln

Rechte-Hand-Regel für Licht

Licht ist eine transversale elektromagnetische Welle. Die elektrischen und magnetischen Felder liegen rechtwinklig zueinander und zum Ausbreitungsvektor k (siehe unten).
Die Leistungsdichte wird durch den Poynting-Vektor P angegeben, das Vektorprodukt aus E und H. Die Richtungen sind leicht zu merken, wenn man E mit den Fingern der rechten Hand auf H rotiert: Der Daumen zeigt in die Ausbreitungsrichtung.

Intensitätsnomogramm

Das unten abgebildete Intensitätsnomogramm stellt die Beziehung zwischen den Beträgen von E, H und der Lichtintensität I im Vakuum dar. Es kann auch für andere Einheiten angewendet werden, beispielsweise [V/mm], [A/mm] und [W/mm2]. Ändern sich die elektrischen Einheiten, muss man die Einheiten von I durch das Produkt der Einheiten von E und H ebenfalls korrigieren: z.B. [V/m], [mA/m], [mW/m2] oder [kV/m], [kA/m], [MW/m2].

INTENSIT-YNO-S

Lichtintensität

Die Lichtintensität I wird in W/m2, E in V/m und H in A/m gemessen. Die Gleichungen, die die Beziehung zwischen I, E und H zum Ausdruck bringen, sind analog zum Ohmschen Gesetz. Für die Amplituden gilt:

LIGHTINT-ENS-S

Die Größe h0 wird als Wellenimpedanz des Vakuums bezeichnet und h als Wellenimpedanz eines Mediums mit dem Brechungsindex n.

Beziehungen zwischen Wellengrößen

WAVEQUAN TIT-S

k: Wellenzahl [rad/m]
n: Frequenz [Hz]
w: Winkelfrequenz [rad/s]
l: Wellenlänge [m]
l0: Wellenlänge im Vakuum [m]
n: Brechungsindex

Energieumrechnungen

ENERGYCO_NVE-S

Wellenlängenumrechungen

1 nm = 10 Ångström (Å) = 10−9m = 10−7cm = 10−3mm

Linear polarisiertes Licht

Bei linear polarisiertem Licht bleiben die Felder E und H in den zueinander rechtwinkligen Ebenen parallel zum Ausbreitungsvektor k (siehe Abb. unten).

POLAR-LIGHT-S

Sowohl E als auch H schwingen in Zeit und Raum wie:
sin (wt-kx)

Das Nomogramm stellt die Beziehung zwischen Wellenzahl, Photonenenergie und Wellenlänge dar.

PLANEPOL-S

Brechungsgesetz

Das Brechungsgesetz beschreibt das Verhalten eines Lichtstrahls, der von einem Medium mit dem Brechungsindex n1 in ein Medium mit einem anderen Brechungsindex n2. übergeht. An der Grenzfläche zwischen den beiden Medien besitzt der Lichtstrahl einen bestimmten Einfallswinkel. Der Einfallswinkel ist der Winkel zwischen der Senkrechten zur Grenzfläche und dem einfallenden Lichtstrahl. Ist n1 kleiner als n2, wird der Strahl zur Senkrechten hin gebrochen. Ist n1 größer als n2, wird der Strahl von der Senkrechten weggebrochen.
Brechungsgesetz: n1sinθ1 = n2sinθ2.

REFGUIDE SNE-SREFGUID1 SNE-S

Strahlversatz

Eine planparallele Glasplatte kann eingesetzt werden, um einen Lichtstrahl seitlich ohne Winkelabweichung zu versetzen. Der Parallelversatz ändert sich mit dem Einfallswinkel. Bei senkrechtem Lichteinfall ist er null und kommt der Dicke h der Glasplatte bei streifendem Einfall immer näher.
Streifender Einfall bedeutet, der Winkel nähert sich dem 90°-Winkel zur Senkrechten zur Oberfläche.

REFGUIDE DIS-SDISPLACE-MEN-S

Die Abhängigkeit vom Kippwinkel der Glasplatte und den beiden Brechungsindizes wird im folgenden Graphen veranschaulicht.

REFGUID1 DIS-S

Strahlablenkung

Sowohl Versatz als auch Ablenkung treten auf, wenn die Medien auf den beiden Seiten der gedrehten Glasplatte unterschiedliche Brechungsindizes haben. Dies geschieht beispielsweise bei einem gekippten Fenster am Aquarium. Der Versatz ist gleich, die Winkelabweichung d wird durch die unten stehende Formel angegeben. d ist unabhängig vom Brechungsindex der Platte. In Bezug auf d scheint es nur eine einzige Grenzfläche zwischen Medium 1 und Medium 3 zu geben.
Beispiel: Der Brechungsindex der Luft beträgt bei Normalbedingungen etwa 1,0003. Die Ablenkung des Lichtstrahls, der durch ein Glasfenster mit Brewster-Winkel eines HeNe-Lasers tritt, beträgt:
d= (n3 - n1) tan θ
Im Brewster-Winkel ist tan θ= n2
d= (0,0003) x 1,5 = 0,45 mrad
In 3000 m Höhe beträgt der Luftdruck 2/3 von dem in Meereshöhe. Daraus ergibt sich eine Ablenkung von 0,3 mrad. Diese Änderung kann den Strahlengang dejustieren, wenn beide Fenster symmetrisch statt parallel angeordnet sind.

REFGUIDE DEV-SDEVIATIO-NEQ-S

Winkelablenkung von Prismen

Die Winkelablenkung eines Prismas hängt ab vom Prismenwinkel a, dem Brechungsindex n und dem Einfallswinkel θi. Minimale Ablenkung tritt auf, wenn der Strahl innerhalb des Prismas die Senkrechte zur Winkelhalbierenden des Prismenwinkels bildet. Bei kleinen Prismenwinkeln (optische Keile) ist die Ablenkung über einen relativ großen Winkelbereich in der Nähe der Senkrechten konstant. Bei solchen Keilen kann die Ablenkung wie folgt genähert werden:
d ≈ (n - 1)a

REFGUID1 ANG-SREFGUIDE ANG-S

Totalreflexion bei Prismen

Totalreflexion setzt eine saubere Grenzfläche zwischen Luft und Glas voraus. Die reflektierenden Flächen müssen frei von Fremdmaterial sein. Die Totalreflexion verlangt außerdem einen minimalen Einfallswinkel. Bei einem rechtwinkligen Prisma mit dem Brechungsindex n muss der Strahl mit dem Winkel θ in das Prisma eintreten:
θ < arcsin (((n2-1)1/2-1)/√2)
Im sichtbaren Bereich beträgt θ = 5,8° für BK 7 (n = 1,517) und 2,6° für Fused Silica (n = 1,46).

Prismen verlängern den optischen Weg. Auch wenn die Auswirkungen bei Laseranwendungen minimal sind, sollten Verschiebungen des Brennpunktes und chromatische Effekte in divergierenden Strahlen berücksichtigt werden.

Fresnel-Gleichungen:

i - Eingangsmedium
t - Ausgangsmedium
Mit dem Brechungsgesetz kann man θt bestimmen.

Rechtwinkliger Einfall

r = (ni-nt)/(ni + nt)
t = 2ni/(ni + nt)

Brewster-Winkel

θb = arctan (nt/ni)
Nur S-polarisiertes Licht wird reflektiert.

Totalreflexion

θTIR > arcsin (nt/ni)
nt < ni ist Voraussetzung für die Totalreflexion.

Reflexions- und Transmissionskoeffizienten für das elektrische Feld

Die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten sind wie folgt definiert:
r = Er/Ei t = Et/Ei

Nicht-senkrechter Einfall

rs = (nicosθi -ntcosθt)/(nicosθi + ntcosθt)
rp = (ntcos θi -nicosθt)/ntcosθi + nicosθt)
ts = 2nicosθi/(nicosθi + ntcosθt)
tp = 2nicosθi/(ntcosθi + nicosθt)

Leistungsreflexion

Die Koeffizienten für Leistungsreflexion und -transmission werden durch Großbuchstaben dargestellt:
R = r2
T = t2(ntcosθt)/(nicosθi)
Die Brechungsindizes berücksichtigen die unterschiedlichen Lichtgeschwindigkeiten in den beiden Medien. Das Kosinus-Verhältnis korrigiert die unterschiedlichen Querschnitte der Strahlen auf beiden Seiten der Grenzfläche.
Die Intensität (Leistung/Fläche) muss ebenfalls mit folgendem geometrischen Faktor korrigiert werden:
It = T x Ii(cosθi/cosθt)

Energieerhaltung

R + T = 1
Diese Beziehung gilt sowohl für einzelne P- und S-Komponenten als auch für die Gesamtleistung.

Polarisation

Um die Berechnungen für Reflexion und Transmission zu vereinfachen, wird das eintretende elektrische Feld in zwei linear polarisierte Komponenten aufgeteilt. Die Einfallsebene ist in den beiden Zeichnungen durch den Kreis angegeben. Die Senkrechte zur Oberfläche und alle Ausbreitungsvektoren (ki, kr, kt) liegen innerhalb dieser Ebene.
E parallel zur Ebene: P-Polarisation

REFGUIDE PP-S

E senkrecht zur Ebene: S-Polarisation.

REFGUIDE SP-S

Koeffizienten für die Leistungsreflexion

Die Koeffizienten für die Leistungsreflexion Rs und Rp sind in den Diagrammen linear und logarithmisch für Licht dargestellt, das von Luft (ni = 1) in BK 7-Glas (nt = 1,51673) eintritt. Der Brewster-Winkel beträgt in diesem Fall 56,60°.

REFGUIDE POW-SREFGUID1 POW-S

Die entsprechenden Koeffizienten werden hier für Licht dargestellt, das von BK7-Glas in Luft eintritt. Der Brewster-Winkel beträgt in diesem Fall 33,40°, der Grenzwinkel für die Totalreflexion 41,25°.

REFGUID2 POW-SREFGUID3 POW-S

Dünne Linsen

Wenn eine Linse durch eine einzige Ebene repräsentiert werden kann, wird sie als “dünn” bezeichnet. Verschiedene Beziehungen bestehen zwischen den Größen, die in der Abbildung dargestellt sind:

Gauß:

THIN LENS No1-S

Newton: x1x2 = -F2

Vergrößerung:
Transversal:

THIN LENS No2-S

MT < 0, umgekehrtes Bild
Longitudinal:

THIN LENS No3-S

ML <0, keine Bildinversion

THINLENS-S

Vorzeichenkonventionen für Bildlage und Brennweite

Größe + -
s1 reell virtuell
s2 reell virtuell
F Konvexlinse Konkavlinse

Linsenformen mit minimaler Aberration

| s2/s1 | Beste Linsenform
<0,2 Plankonvex/-konkav
>5 Plankonvex/-konkav
>0,2 oder <5 Bikonvex/-konkav

Dicke Linsen

Eine dicke Linse lässt sich nicht durch eine Brennweite beschreiben, die von einer einzigen Ebene aus gemessen wird. Eine einzige Brennweite F kann beibehalten werden, wenn man von den zwei Hauptebenen H1 und H2 in den Abständen P1 und P2 von den Flächenscheiteln der Linse V1 und V2 aus misst. Die beiden Schnittweiten BFL1 und BFL2 werden von diesen Flächenscheiteln aus gemessen. Die Gleichungen für dünne Linsen können verwendet werden, wenn alle Abstände von den Hauptebenen aus gemessen werden.

THICKLEN-S

Linsen-Nomogramm:

LENSNOMO-GRA-S

Linsengleichung

Nach links konvexe Oberflächen haben positive Radien. In unserem Beispiel gilt R1>0, R2<0. Die Hauptebenen-Abstände sind positiv, wenn sie rechts von den entsprechenden Scheitelflächen liegen. In der Abbildung ist P1>0, P2<0. Die Brennweite für die dünne Linse ergibt sich, wenn Tc = 0 ist.

LENSMAK1-RSE-SLENSMAKE-RSE-S

Numerische Apertur

fMAX ist der volle Öffnungswinkel des Strahlkegels, der durch das System transmittiert werden kann.

NUMERAPER No1-SNUMERICA PER-S

Für kleines f gilt:

NUMERAPER No 2-S

Sowohl f-Zahl als auch NA beziehen sich auf das System, nicht auf die Ausgangslinse.

Wichtige Naturkonstanten und Kürzel für Zehnerpotenzen

Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c = 2,998108 m/s
Plancksches Wirkungsquantum h = 6,625 x 10-34Js
Boltzmann-Konstante k = 1,308 x 10-23 J/K
Stefan-Boltzmann-Konstante s = 5,67 x 10-8 W/m2 K4
1 Elektronenvolt eV = 1,602 x 10-19 J
Exa (E) 1018
Peta (P) 1015
Tera (T) 1012
Giga (G) 109
Mega (M) 106
Kilo (k) 103
Milli (m) 10-3
Micro (m) 10-6
Nano (n) 10-9
Pico (p) 10-12
Femto (f) 10-15
Atto (a) 10-18

Wellenlängen einiger Laser

Laser Wellenlänge (nm)
ArF 193
KrF 248
Nd:YAG(4) 266
XeCl 308
HeCd 325, 441,6
N2 337,1, 427
XeF 351
Nd:YAG(3) 354,7
Ar 488, 514,5, 351,1, 363,8
Cu 510,6, 578,2
Nd:YAG(2) 532
HeNe 632,8, 543,5, 594,1, 611,9, 1153, 1523
Kr 647,1, 676,4
Rubin 694,3
Nd:Glas 1060
Nd:YAG 1064, 1319
Ho:YAG 2100
Er:YAG 2940

Gaußsche Intensitätsverteilung

Die Gaußsche Intensitätsverteilung ist wie folgt definiert:
I(r) = I(0) exp(-2r2/w02)
und im folgenden Diagramm dargestellt.

REFGUIDE GAU-S

Die rechte Ordinate gibt den Teil der Gesamtleistung an, der im Radius r eingeschlossen ist:

Gaus equ 1-S

Die Gesamtleistung P(∞) in Watt und die Intensität auf der Achse I (0) in Watt/Fläche stehen in folgendem Verhältnis zueinander:

Gaus equ 2-S

Beugung

Die folgende Abbildung vergleicht die Fernfeld-Intensitätsverteilung hinter einem gleichmäßig beleuchteten Spalt, einer kreisförmigen Blende und gaußförmige Verteilungen mit den 1/e2-Durchmessern D und 0,66 D (99% eines Gauß-Strahls mit Durchmesser 0,66 D tritt durch eine Blende mit Durchmesser D). Beobachtet wird im Abstand Y von der Achse in einer Entfernung X>>Y von der Lichtquelle.

REFGUIDE DIF-S

Fokussieren eines Strahls mit Gaußverteilung

Die Abbildung zeigt den Verlauf des 1/e2-Radius w(x) und der Wellenfrontkrümmung R(x) mit x im Umfeld einer Strahltaille bei x = 0. Die entsprechenden Gleichungen lauten:

Focus equ-S

2w0 ist der Taillendurchmesser bei 1/e2 der Maximalintensität. Die Wellenfront ist in der Taille eben [R(0) = ∞].
In der Taille entspricht der Abstand von der Linse in etwa der Brennweite: s2≈F.
D = kollimierter Strahldurchmesser oder Durchmesser, der die Linse ausleuchtet.

FOCUSGAU-SBM-SREFGUIDE FOC-S

Schärfentiefe (DOF)

DOF = (8l/p)(f/#)2
Nur bei DOF <F gilt:

Neuer Taillendurchmesser

NEW-WAIST-S

Strahldivergenz

BEAM-SPREAD-S

Optische Dichte

D = -log (T)
or
T=10-D

SAG

SAG-EQU-S

wobei R der Krümmungsradius und Y der Radius der Apertur der Oberfläche ist. SAG ist eine Abkürzung für sagitta, dem lateinischen Wort für Pfeil. SAG spezifiziert den Abstand zwischen der Oberflächennormale und dem Krümmungsmittelpunkt einer konkaven Linse. SAG beschreibt die Höhe des Bogens, gemessen von der Sehne.