Optique géométrique
Avant d’aborder les lentilles et leurs applications optiques, nous allons décrire les principes définissant le trajet des rayons. Les rayons lumineux de la figure 1 montrent la formation d’une image par une lentille mince idéale. Un objet de hauteur y1 se trouve à une distance s1 d’une lentille mince idéale de distance focale f. La lentille produit une image de hauteur y2 à une distance s2 de l’autre côté de la lentille.
Par lentille mince idéale, on entend une lentille dont l’épaisseur est négligeable par rapport à sa distance focale. Dans ce cas, on peut considérer que la déviation du faisceau traversant la lentille est instantanée au plan milieu de la lentille, comme sur la figure. Dans les applications décrites ici, nous supposerons que les lentilles sont minces et idéales. Cette approximation est suffisante pour cette introduction, qui n’abordera pas les aberrations et les effets des lentilles épaisses.
La figure 1 montre trois rayons. Deux quelconques de ces rayons suffisent à déterminer complètement la taille et la position de l’image. Le premier rayon part de l’objet parallèlement à l’axe optique de la lentille. La lentille le réfracte et lui fait croiser l’axe optique à une distance f derrière la lentille. Le deuxième rayon croise l’axe optique à une distance f devant la lentille. Il est ensuite réfracté parallèlement à l’axe optique derrière la lentille. Le troisième rayon passe par le centre de la lentille. Comme les surfaces de la lentille sont normales à l’axe optique et que la lentille est mince, la déviation de ce rayon est négligeable.
Nous travaillons ici avec l’hypothèse des lentilles minces et idéales, mais aussi avec l’approximation paraxiale. C’est-à-dire que les angles sont petits et que leur mesure θ peut remplacer sin θ.
Grandissement
Utilisons les règles élémentaires de géométrie pour évaluer le grandissement d’une lentille. Sur la figure 2, certains segments de la figure précédente sont mis en évidence. Le rayon passant par le centre de la lentille et l’axe optique forment un angle f. Les angles opposés de deux lignes sécantes étant égaux, nous avons deux triangles semblables. Les rapports des côtés sont donc égaux
f= y1/s1 = y2/s2
Ce qui donne
y2/y1 = s2/s1 = M.
M est le grandissement de l’objet par la lentille. Le grandissement est le rapport de la taille de l’image sur la taille de l’objet, mais c’est aussi le rapport de la distance de l’image sur la distance de l’objet.
Figure 2Ceci établit une limite fondamentale à la géométrie d’un système optique. Si un système optique d’une taille donnée doit produire un grandissement donné, alors la lentille n’a qu’une position possible. En contrepartie, il est inutile de mesurer l’objet et l’image pour connaître le grandissement, puisque qu’il est déterminé par la géométrie du système optique lui-même.
Relation de conjugaison des lentilles minces
Revenons maintenant à la figure et observons à nouveau les segments. Sur la figure 3, nous voyons l’axe optique et le rayon qui le coupe au foyer objet. Les triangles semblables ayant le même sommet et le même angle h nous permettent d’écrire y2/f = y1/(s1-f).
Ce qui donne, avec la définition du grandissement
y2/y1 = s2/s1 = f/(s1-f)
Ce qui donne finalement
1/f = 1/s1 + 1/s2.
Cette formule est la relation de conjugaison des lentilles minces. Elle fournit la relation fondamentale entre la distance focale de la lentille et la taille du système optique. La spécification du grandissement voulu et la relation de conjugaison forment un système de deux équations à trois inconnues : f, s1, et s2. L’ajout d’une troisième condition permet de résoudre ce système.
La troisième condition est souvent la distance focale f de la lentille, ou encore la distance de l’objet à l’image, s1 + s2, qui résulte des contraintes de taille du système optique. Dans les deux cas, les trois variables sont alors entièrement déterminées.
Figure 3Invariant de Lagrange-Helmholtz
Nous pouvons maintenant regarder ce que devient un rayon quelconque passant dans le système optique, comme sur la figure 4. Sur cette figure, nous avons choisi de représenter le rayon maximal, c’est-à-dire le rayon qui fait un angle maximal avec l’axe optique en quittant l’objet, et qui passe par la lentille à la limite de l’ouverture utile. Ce choix permet évidemment de bien visualiser ce qui se passe dans le système, mais ce rayon maximal est aussi celui qui a le plus d’importance lors de la conception d’une application. Indépendamment du choix qui a été fait pour cette figure, le raisonnement qui suit est valable pour n’importe quel rayon.
Figure 4Ce rayon quelconque traverse la lentille à une distance x de l’axe optique. A l’aide de la géométrie élémentaire et de la définition du grandissement, nous avons
θ1 = x/s1 et θ2 = x/s2 = (x/s1)(y1/y2).
Ce qui donne
y2θ2 = y1θ1.
Cette formule est une loi fondamentale de l’optique. Dans tout système optique ne comportant que des lentilles, le produit de la taille de l’image et de l’angle est constant, c’est une constante du système. On l’appelle l’invariant de Lagrange-Helmholtz. Ce résultat est valable quel que soit le nombre de lentilles, comme nous pourrions le vérifier en traçant des rayons qui traversent plusieurs lentilles.
Ce résultat est valable dans le cadre de l’approximation paraxiale, et ce raisonnement suppose que les lentilles sont parfaites et sans aberration. Si les aberrations sont prises en compte, il faut remplacer le signe égal par le signe supérieur ou égal dans la formule de l’invariant. Cela signifie que le produit taille x angle peut augmenter à cause des aberrations, mais que rien ne peut le faire diminuer.