Les structures en composite utilisées pour les tables antivibratoires sont plus rigides que des tables massives de même poids. Pour un même poids, la fréquence fondamentale d’une table en composite est plus élevée que celle d’une table massive. Bien que le comportement d’une table composite en flexion soit complexe, les approximations simples ci-dessous peuvent être utiles.
La fréquence fondamentale d’une table antivibratoire soumise à son seul poids est donnée par :
Où :
f est la fréquence fondamentale (Hz)
d est la déflexion induite par le poids de la table
g est l’accélération de la pesanteur
C est un facteur estimé de 1,13 à 1,26, en fonction de la géométrie de la table*
La déflexion sous l’effet de son propre poids d’une table rectangulaire supportée par quatre pieds aux quatre coins est donnée par :
où :
d est la déflexion induite par le poids de la table
P est le poids de la table par unité de surface
L est la longueur de la table
b est la largeur de la table
D est la rigidité statique en flexion de la table
La rigidité statique en flexion d’une table massive est donnée par :
où :
Dmassif est la rigidité statique en flexion de la table massive,
E est le module d’élasticité du matériau de la table
h est l’épaisseur de la table
u est le coefficient de Poisson pour le matériau de la table
Dans le cas d’une table sandwich, la rigidité en flexion est donnée approximativement par :
où :
Dcomposite est la rigidité en flexion de la table sandwich
E est le module d’élasticité des peaux du composite
tF est l’épaisseur des peaux du composite
h est l’épaisseur de la table.
(L’équation ci-dessus suppose que les peaux inférieure et supérieure ont la même épaisseur et que la rigidité en cisaillement du cœur n’est pas significative.)
En utilisant les équations de la déflexion et de la rigidité statique en flexion, le rapport entre la déflexion de tables composites et massives de même épaisseur est donnée par :
où :
dmassif est la déflexion de la table massive
dcomposite est la déflexion de la table composite
Pcomposite est le poids par unité de surface de la table composite
r est la densité du matériau de la table massive
L’équation ci-dessus va être utilisée pour analyser les performances d’une table Newport de 20 cm (8 pouces) et d’une table massive de 20 cm (8 pouces) en acier au carbone. Les propriétés des deux tables sont les suivantes :
| |
|
Massive |
Sandwich |
| 1. |
Module d’élasticité |
200 GPa |
200 GPa |
| 2. |
Densité des peaux |
7740 kg/m-3 |
7740 kg/m-3 |
| 3. |
Coefficient de Poisson |
0.33 |
0.33 |
| 4. |
Épaisseur des peaux |
Sans objet |
4,8 mm |
| 5. |
Poids par unité de surface |
640 kg/mm2 |
50 kg/mm.2 |
La rigidité statique en flexion de la table massive est de :
La rigidité statique en flexion de la table composite est de :
Mais le rapport des déflexions sous leur poids propre est de :
Cet exemple montre que la déflexion sous l’effet de son propre poids d’une table en composite est environ la moitié de celle d’une table massive de même épaisseur. En fait, l’expérience a montré que la déflexion sous l’effet de son propre poids d’une table en composite, comparée à celle d’une table massive de même poids, est significativement meilleure que ce qu’indique cet exemple.
* Voir C.W. Bert, Journal of Sound and Vibration, 1993, 162 (3), 547-557.
Nota : Ce développement mathématique a été communiqué par Daniel Vukobratovich, du Centre des sciences optiques de l’Université de l’Arizona, que nous tenons à remercier spécialement.