Introduction aux vibrations

Les vibrations et les méthodes antivibratoires sont intimement liées au phénomène de la résonance et du mouvement harmonique simple.

Mouvement harmonique simple

L’exemple le plus simple d’un mouvement harmonique est une masse connectée à une poutre flexible encastrée à une de ses extrémités.
Une force extérieure, appliquée soit par une impulsion unique, soit par une grandeur périodique comme une vibration, fait résonner le système par l’effet alternatif d’absorption et de restitution de l’énergie mise en jeu dans la flexion de la poutre et du mouvement de la masse.

Masse sur une poutre encastrée à une de ses extrémités, résonant sous l’effet d’une force extérieure.

Fréquence propre

La fréquence propre, comme son nom l’indique, est la fréquence à laquelle résonne le système. Dans notre exemple d’une masse et d’une poutre, la fréquence propre est déterminée par deux facteurs, la valeur de la masse et la raideur de la poutre jouant le rôle de ressort. En réduisant la masse et/ou en rigidifiant la poutre on augmente la fréquence propre, et inversement une masse élevée et/ou une poutre plus souple abaissent la fréquence propre.

(A gauche) Une masse moindre augmente la fréquence propre.
(A droite) Une masse supérieure abaisse le fréquence propre.

(A gauche) Un ressort plus raide augmente la fréquence propre.
(A droite) Un ressort plus souple réduit la fréquence propre.

Un autre exemple simple de la fréquence propre est donné par le diapason, qui est conçu pour vibrer à une fréquence propre donnée. Par exemple, le diapason de la note musicale "la" vibre à une fréquence de 440 Hz. Tout comme la fréquence propre de la poutre encastrée peut être changée en modifiant sa souplesse ou la masse, la fréquence propre du diapason peut être modifiée en augmentant ou en réduisant la masse des deux branches et/ou en allongeant ou en réduisant ces branches.

Un diapason vibre à une fréquence propre déterminée par la longueur, la raideur et la masse des branches.

Amortissement

Dans les modèles de la poutre encastrée et du diapason, nous avons examiné des systèmes non amortis, où il n’existe pas de mécanisme pour dissiper l’énergie mécanique. En l’absence d’amortissement, ces systèmes vont vibrer pendant assez longtemps — au moins plusieurs secondes — avant de revenir au repos.
Avec un amortissement, l’énergie mécanique du système se trouve dissipée et les vibrations s’atténuent plus rapidement. Par exemple, lorsque les branches du diapason sont plongées dans l’eau, les vibrations s’atténuent presque immédiatement. De la même manière, si un doigt touche légèrement le système masse-poutre en résonance, cet amortissement dissipe rapidement lui aussi l’énergie vibratoire.

Modèle I : Oscillateur harmonique simple

L’oscillateur harmonique simple se compose d’une masse rigide M connectée à un ressort linéaire idéal, comme le montre la figure 1.

Fig. 1. Oscillateur harmonique simple décrit par

Le ressort a une compliance statique C telle qu’un changement de longueur Dx se produisant en réponse à une force F est égal à : Dx = C F
A noter que la compliance C est l’inverse de la raideur du ressort (notée k) , si bien que l’on a k = 1/C.
Si le système ressort-masse est soumis à un déplacement sinusoïdal de fréquence f (de pulsation w = 2 p f ) et d’amplitude maximale |u| il produit un déplacement sinusoïdal de la masse M avec une amplitude maximale |x| à la même pulsation w. Le rapport entre l’amplitude du mouvement de la masse |x| et le mouvement maximal du ressort |u| est appelé la transmissibilité T et donné par :

où w₀ est la pulsation de résonance, ou pulsation propre du système, et est donnée par :

La fréquence de résonance , ou fréquence propre, est la fréquence équivalente à cette pulsation propre. A noter que la pulsation propre du système, w₀, est déterminée uniquement par la masse et par la compliance du ressort. Elle diminue lorsque la masse augmente et lorsque le ressort devient plus souple. La transmissibilité T du système est une fonction du rapport w/w₀ (voir le tracé bilogarithmique de la figure 2.)

Fig. 2. Transmissibilité d’un oscillateur harmonique simple.

Les trois caractéristiques de ce système sont les suivantes :
1) Pour w « w₀, bien au-dessous de la pulsation de résonance, la transmissibilité T = 1, si bien que le mouvement de la masse est le même que le mouvement à l’autre extrémité du ressort.
2) Pour w ≈ w₀, proche de la résonance, le mouvement de l’extrémité du ressort est amplifié, et le mouvement de la masse |x| est supérieur à |u|. Dans le cas d’un système non amorti, le mouvement de la masse devient théoriquement infini pour w = w₀.
3) Pour w » w₀, le déplacement obtenu |x| décroît en proportion de 1/w². Dans ce cas, le déplacement |u| qui est appliqué au système ne se transmet pas à la masse. En d’autres termes, le ressort joue le rôle d’isolateur.

Modèle II : Oscillateur harmonique simple avec amortissement

Dans le premier modèle, nous avons considéré un système non amorti, où il n’existe pas de mécanisme pour dissiper l’énergie mécanique du système ressort-masse. L’amortissement désigne un mécanisme qui absorbe de l’énergie mécanique dans le système — très souvent sous la forme de chaleur. Un oscillateur harmonique simple avec amortisseur est représenté schématiquement à la figure 3.

Fig. 3. Oscillateur harmonique simple, avec amortissement, décrit par

Un amortisseur connecté de manière rigide s’exprime mathématiquement en ajoutant un terme d’amortissement qui est proportionnel à la vitesse de la masse et à l’équation différentielle décrivant le mouvement. Pour une force extérieure résultant en un déplacement d’amplitude |u| à l’extrémité du ressort comme dans le Modèle I, la transmissibilité T du système amorti devient :

où z est un coefficient d’amortissement donné par :

Un tracé de la transmissibilité T est donné à la figure 4 pour différentes valeurs du coefficient d’amortissement z. Lorsque z tend vers zéro, la courbe se rapproche de celle du Modèle I, c’est-à-dire qu’il existe une amplification infinie à la pulsation de résonance w₀. Lorsque l’amortissement augmente, la fréquence en résonance diminue. Cependant, l’écrasement est moindre aux fréquences élevées (c’est-à-dire que la transmissibilité baisse moins vite lorsque l’amortissement augmente). Pour w/w₀ » 1/z, noter que le mouvement |x| est proportionnel à 1/w, à comparer au Modèle I, où, aux fréquences élevées, le mouvement |x| tombait à 1/w².