Une structure réelle n’est jamais un corps parfaitement rigide. En disant cela, nous voulons dire que toutes les structures vibrent, en flexion ou en torsion. La réponse des structures à des vibrations aléatoires peut être très complexe, car elles peuvent vibrer en présentant des déformations complexes et posséder plus d’une seule fréquence de résonance. La courbe de compliance, méthode classique de mesure de la rigidité dynamique, constitue un outil utile pour évaluer la dynamique d’une structure vibrante. La courbe fournit des informations sur les deux paramètres essentiels régissant les performances dynamiques, à savoir la fréquence minimale de résonance et l’amplification maximale en résonance, que l’on peut utiliser pour calculer le mouvement relatif réel entre deux points à la surface de la structure.
Pour commencer : rigidité dynamique et compliance
La “ compliance ” est une mesure de la tendance d’une structure à se déplacer sous l’effet d’une force extérieure. Plus la compliance est élevée (donc, plus la raideur est faible), plus la structure se déplace facilement. Les courbes de compliance indiquent l’amplitude du déplacement d’un point du corps par unité de force appliquée, en fonction de la fréquence. La formule s’écrit :
Les unités de compliance sont déplacement/force, par exemple mm/N ou pouces/livre.
Compliance d’un Corps idéalement rigide et libre
Figure 1. Modèle du corps idéalement rigide et libre, Mx¨=F.Le modèle théorique de la compliance est le corps idéalement rigide et libre. Nous voulons savoir ce qu'il se passe lorsqu’une force extérieure F est appliquée à un corps rigide de masse M, comme le montre la figure 1. Lorsqu’une force harmonique simple est appliquée, la solution en régime permanent est :
Cela signifie que le corps oscille d’avant en arrière en décrivant une sinusoïde, et que l’amplitude du mouvement est inversement proportionnelle au carré de la pulsation appliquée, w. Dans cet exemple, la compliance C est simplement la valeur de |x0| divisée par la grandeur de la force, |F|, soit :
La compliance d’un corps rigide est donc proportionnelle à 1/w2 et elle apparaît sous la forme d’une ligne droite de pente -2 sur un tracé bilogarithmique. Cette droite, appelée droite du Corps idéalement rigide, représente le comportement dynamique d’une table idéale (parfaitement rigide).
Courbe de compliance du plateau de table
Les performances dynamiques d’un plateau de table sont généralement représentées par une courbe de compliance, à savoir un tracé bilogarithmique de la réponse dynamique de la table à une vibration aléatoire. Dans le cas de corps non rigides, une courbe de compliance montre les fréquences de résonance de la structure, ainsi que l’amplification maximale en résonance. Avec quelques informations complémentaires, les courbes de compliance permettent d’estimer avec fiabilité le comportement d’un système donné pour une application donnée.
Figure 2. Courbe typique de compliance d’un plateau non amorti.Résonances et fréquence minimale (fn)
Les figures 2 et 3 montrent la relation entre les modes de vibration d’un plateau non amorti et les pics de sa courbe de compliance. Chacun des pics de la courbe, repérés de A à D, correspondent à un mode de vibration fondamentale. La figure 3 montre les modes vibratoires associés qui se produisent aux fréquences repérées sur la figure 2.
Figure 3. Modes de vibration associés aux pics de la courbe de compliance de la figure 2.La réponse d’un plateau de table à la vibration dépend de la gamme des fréquences. Prenons la courbe de compliance de la figure 4, qui est celle d’un plateau de table fabriqué en nids d’abeilles aluminium. Aux basses fréquences, la compliance chute de manière inversement proportionnelle au carré de la fréquence f appliquée (w= 2pf). En d’autres termes, la structure se comporte comme un “ Corps idéalement rigide ”. La droite du Corps idéalement rigide est tracée sur toutes les courbes de compliance Newport afin de mesurer l’amortissement structural de la table via le Coefficient de déflexion dynamique. C’est la droite (B) de la figure 4.
Aux fréquences supérieures à 80 Hz, la courbe de compliance commence de s’écarter de cette droite, et la table ne peut donc plus être considérée comme un corps idéalement rigide. Au-dessus de 80 Hz, des modes vibratoires de la structure sont excités, et la table commence à se déformer. Les pics de compliance maximale (C, D, E, F et G) correspondent aux modes de résonance de la table (fréquences d’environ 220, 290, 420, 495 et 600 Hz).
La compliance du corps rigide chute rapidement avec l’augmentation des fréquences, si bien que les déplacements les plus importants correspondent généralement à des résonances à basse fréquence. Le premier pic à partir de la gauche possède usuellement l’amplitude maximale et c’est lui qui domine la réponse de la table aux vibrations. A la figure 4, par exemple, 220 Hz est la fréquence minimale de résonance ou fréquence propre (fn) du plateau de table. Il est souhaitable que la fréquence minimale de résonance soit la plus élevée possible, car l’amplitude des déplacements est nettement inférieure aux fréquences plus élevées, ce qui donne une stabilité plus grande.
Figure 4. Courbe de compliance d’un plateau de table à cœur nids d’abeilles en aluminium.Amplification maximale en résonance (Q)
Amortir les modes de résonance est essentiel pour assurer une stabilité maximale. Un amortissement efficace du plateau réduit la compliance (donc réduit la hauteur des pics de résonance). L’objectif est de concevoir un plateau dont la courbe de compliance dévie aussi peu que possible de la droite théorique du corps idéalement rigide. Des valeurs absolues de compliance, qui ne sont pas rapportées à la droite du corps idéalement rigide, ne renseignent pas bien sur l’amortissement structurel du plateau de table.
Un rapide coup d'oeil sur une courbe de compliance peut donner un aperçu grossier de la qualité de l’amortissement. Par exemple, à partir des figures 4 et 5, on constate intuitivement que l’amortissement de la table de la figure 5 est manifestement supérieur. Mais de combien ? Quand on compare des courbes logarithmiques, il est facile de se tromper. Heureusement, il est très facile d’obtenir une comparaison précise de l’efficacité relative de l’amortissement en déterminant l’amplification maximale de la table en résonance.
Figure 5. Courbe de compliance d’un plateau de table à cœur nids d’abeilles en acier.L’amplification maximale en résonance, ou facteur Q, constitue une mesure de la déviation de la courbe de compliance par rapport à la droite du corps idéalement rigide. Plus précisément, elle se définit comme la valeur maximale de compliance du pic le plus élevé au-dessus de la droite du corps idéalement rigide (généralement le premier pic depuis la gauche, mais pas toujours), divisée par la réponse du corps idéalement rigide à la même fréquence (voir la figure 6). Plus la valeur du facteur Q d’une structure est basse, plus l’amortissement est efficace et plus la table sera stable. Le facteur Q d’une structure et la fréquence de résonance correspondante permettent de déterminer le Coefficient de déflexion dynamique.
Figure 6. Amplification maximale en résonance (Q).La valeur de Q peut facilement être calculée à partir d’une courbe de compliance. Si la courbe ne comprend pas de droite du corps rigide, commencez par en tracer une. Cette droite doit être tangente à la partie “ rectiligne ” de la courbe de compliance, et doit avoir une pente de -2 (une multiplication de la fréquence par 10 correspond à une chute de la compliance de 100 fois). Méfiez-vous des courbes de compliance dont les droites du corps rigide n’ont pas une pente de -2.
Exemple :
Calcul de l’amplification maximale en résonance (Q) des plateaux de table en nids d’abeilles des figures 4 et 5. On constate que le plateau à cœur en acier (figure 5) offre un amortissement 3 fois supérieur à celui du plateau à cœur en aluminium de la figure 4. Le facteur Q d’un bloc de granit typique (dont la courbe de compliance n’est pas représentée) est également donné pour faciliter les comparaisons.
