Comment exprimer les performances d’une table d’optique

Coefficient de déflexion dynamique et Mouvement relatif : les deux paramètres les plus pertinents

La rigidité dynamique d’un plateau de table (sa résistance au mouvement induit par les vibrations) constitue le critère le plus important pour estimer les performances du contrôle vibratoire. Mais les courbes de compliance, méthode classique de mesure de la rigidité dynamique, ne vont pas assez loin dans la caractérisation des capacités de contrôle vibratoire d’un plateau de table.
Le Coefficient de déflexion dynamique, indice qui peut se calculer à partir d’une courbe de compliance quelconque, vous permet de comparer directement les performances dynamiques, afin de sélectionner le niveau voulu de stabilité d’une table en fonction de votre application. Lorsque le niveau de vibration de l’environnement est connu, le coefficient de déflexion dynamique peut également être utilisé pour calculer la valeur du mouvement relatif, qui permet de sélectionner la table la plus adéquate pour votre application.
Afin de faciliter la comparaison des plateaux de table Newport, le coefficient de déflexion dynamique et la valeur du mouvement relatif pour un environnement typique de laboratoire sont donnés pour toutes les tables de grandes dimensions.

Réponse dynamique du plateau de table aux vibrations

Le plateau d’une table est soumis à des milliers de signaux vibratoires différents qui, considérés globalement, se rapprochent étroitement d’une vibration aléatoire. La réponse en accélération d’une table à une vibration aléatoire est donnée par :

(1)

où :
G_rms est la réponse efficace en accélération
f_n est la fréquence de résonance de la table (Hz)
Q est l’amplification maximale en résonance, donc une mesure de l’efficacité de l’amortissement (grandeur sans dimension), et
PSD est la densité spectrale de puissance qui est appliquée (g²/Hz)

La réponse en déplacement relatif du plateau de la table est donnée par :

(2)

où :
d est la réponse en déplacement
g est l’accélération de la pesanteur

En combinant les équations (1) et (2), on obtient la réponse en déplacement de la table à une vibration aléatoire :

(3)

Formule du mouvement relatif

L’équation 3, base de la formule du mouvement relatif de la figure 1, vous permet de calculer le mouvement relatif maximal (pire cas) entre deux points de la table à la fréquence propre (f_n). Les résultats des calculs correspondent étroitement aux performances mesurées par des méthodes interférométriques. Pour votre commodité, Newport publie également une valeur calculée de mouvement relatif pour toutes les tables, ce qui reflète correctement les performances dans un environnement classique de laboratoire calme.
Le second terme de l’équation du mouvement relatif, (Q/f_n³)^1/2, est le Coefficient de déflexion dynamique, paramètre dérivé de la fréquence de résonance minimale de la table et de l’efficacité de l’amortissement qui, ensemble, définissent les performances dynamiques de la table. Le troisième terme, (PSD)^1/2, est la contribution du niveau d’intensité de la vibration appliquée, ce que l’on peut mesurer directement ou encore estimer empiriquement (pour une vibration supposée aléatoire). La transmissibilité des isolateurs, quatrième terme de l’équation, tient compte de l’atténuation des vibrations du sol par la structure porteuse, sur la gamme des fréquences intéressantes.
A noter que cette formule permet d’estimer le pire cas, donc le mouvement relatif maximal, alors que le mouvement relatif réellement observé dans la plupart des installations typiques sera inférieur. D’autre part, si les vibrations appliquées comprennent des pics élevés à certaines fréquences (donc, vibrations non aléatoires), le mouvement relatif réel peut être nettement supérieur.

Exemple :

Calculer le Mouvement relatif maximal (pire cas) entre deux points d’une table RS 2000™ de 1200 x 2400 x 305 mm (4 x 8 pieds sur 12 pouces) installée dans un laboratoire proche d’une rue. Voir voir Tables d’optique pour la recherche pour la courbe de compliance.
D’abord, on détermine le Coefficient de déflexion dynamique.
Pour le pic de résonance à :
f_n ≈ 190 Hz, Q ≈ 2,7, (Q/f_n³)^1/2 ≈ 0,6 x 10^-3.
Pour le pic de résonance à :
f_n ≈ 270 Hz, Q ≈ 22, (Q/f_n³)^1/2 ≈ 1,1 x 10^-3.
Si l’on prend
g = 9,65 m/s²
PSD = 10^-9 g²/Hz
T <0,01 sur la gamme des fréquences intéressantes
le mouvement relatif est de :

A propos de la déflexion sous charge

Après la rigidité dynamique, la rigidité statique d’un plateau de table constitue le paramètre essentiel caractérisant les performances de la table. La rigidité statique correspond au concept intuitif de raideur et elle est mesurée par la déflexion statique, donc la valeur de l’“ affaissement ” du plateau entre ses points d’appui lorsqu’une charge statique est placée sur le plateau.
Une faible déflexion signifie que les composants resteront mieux alignés sur la table, notamment lorsque des charges lourdes sont placées ou déplacées sur la table. La rigidité statique constitue également un facteur important de la réponse dynamique du plateau aux vibrations de faible fréquence.
A l’aide de la formule, il est possible de prédire précisément la déflexion au centre de la table pour une charge ponctuelle donnée. Pour faciliter la comparaison, Newport publie des valeurs de déflexion sous charge pour toutes les tables de grandes dimensions (charge de 114 kg).
Pour une table placée sur des isolateurs implantés aux endroits recommandés (22% des extrémités de la table) et pour une charge ponctuelle appliquée à mi-distance des supports, la déflexion vers le bas au centre de la table (figure 2) est donnée par :

où :
P = force exercée par la charge ponctuelle
L = portée entre les isolateurs (longueur de la table x 0,56)
b = largeur de la table
H = épaisseur de la table
T = épaisseur des peaux
E = module de Young du matériau des peaux
G = module de cisaillement du cœur

Le premier terme de l’équation représente la contribution de la flexion, et il dépend largement des caractéristiques des peaux, tandis que le second terme est la contribution du cisaillement, qui dépend d’abord des caractéristiques du cœur.

Toutes les constantes des matériaux des tables se trouvent facilement dans les sections consacrées aux matériels, exception faite du module de Young, dont les valeurs sont données dans le tableau suivant.

Module de Young pour les matériaux des peaux:

Exemple :

La déflexion statique d’une table RS 4000™ de 1200 x 2400 x 305 mm sous une charge de 1111 N est donnée par :
P = 1111N
L = 1,32 m
E = 200 GPa
b = 1,22 m
T = 0,005 m
H = 0,305 m
G = 1,55 GPa

Nota : Nous remercions Daniel Vukobratovich, du Centre des sciences optiques de l’Université de l’Arizona, pour son aide dans la préparation de cette note technique.

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