La formule de calcul du Mouvement relatif maximal utilisée par Newport constitue une excellente méthode pour estimer la déflexion maximale d’un plateau de table. La présente note technique explique et calcule la relation entre le mouvement relatif maximal et la déflexion réelle du faisceau dans les applications réelles.
Un montage simple servira à illustrer les exemples ci-dessous: un miroir monté sur un plateau de table. Un faisceau laser refléchi par ce miroir peut être affecté par deux modes vibratoires du plateau de table, à savoir déflexion axiale due aux mouvements de translation (dilatation/contraction) du plateau de table et déflexion angulaire causée par le mouvement de flexion du plateau de la table. Les contributions relatives de chacun des modes sont généralisées en application de deux principes, et une méthode rapide de calcul direct de la déflexion du faisceau est donnée.
Principe n° 1: la déflexion d’un plateau n’est pas un problème tant que le déplacement est un mouvement de translation
Figure 1. Le mouvement de translation du plateau n’affecte pas les systèmes, même sensibles.La déflexion maximale de la surface du plateau est calculée à l’aide de la formule du Mouvement relatif maximal:
Cette formule donne la déflexion maximale (pire) d’un plateau, où:
d = déflexion maximale du plateau
g = accélération de la pesanteur (386 pouces/s2)
Q/fn3 = Coefficient de déflexion dynamique (valeur fournie pour toutes les tables Newport, qui peut également être calculée à partir d’une courbe de compliance)
PSD = Densité spectrale de puissance à fn
A l’aide de cette formule, nous pouvons savoir comment la déflexion de la table va affecter un miroir monté sur le plateau.
Exemple:
Considérons la réponse vibratoire d’une table Newport RS 2000™ de 1200 x 2400 x 305 mm (4 x 8 pieds sur 12 pouces). Pour une PSD réaliste de 1 x 10-9g2/Hz, la déflexion maximale de la table est:
Ce déplacement (transition) est d’environ un tiers d’un millionième de pouce, ou encore 0,013 longueur d’onde de laser HeNe. Une telle déflexion ne devrait pas normalement être problématique dans la plupart des expériences ou des applications.
Principe n° 2: La déflexion angulaire du plateau contribue beaucoup plus à la déflexion du faisceau
Figure 2. La flexion du plateau de table est la cause la plus importante de la déflexion du faisceau.La situation devient plus sérieuse si l’on prend en compte dans le calcul la pente du plateau de table. Lorsqu’une table est affectée par des vibrations, elle présente des modes en translation aussi bien qu’en flexion. La flexion du plateau peut avoir de graves conséquences sur les performances optiques, et ce pour deux raisons:
- Lorsqu’un miroir pivote, l’angle du faisceau réfléchi est deux fois l’angle de pivotement.
- De plus, cette erreur “ doublée ” augmente linéairement avec la distance entre le miroir et le point réfléchi, soit:
dpivotement = θmiroir x ×
où:
dpivotement = déplacement du point
θmiroir = angle de pivotement du miroir
× = distance entre le miroir et le point
Par exemple, un pivotement de seulement un milliradian (1 x 10-3 radian) d’un miroir plan à une distance d’un mètre donne un déplacement du faisceau réfléchi qui atteint 2 mm!
Nota: Ce développement mathématique a été communiqué par le Dr Daniel Vukobratovich, du Centre des sciences optiques de l’Université de l’Arizona, que nous tenons à remercier spécialement.
La pente maximale de la table est également très facile à déterminer. A titre d’exemple, considérons une table Newport RS 2000™ de 1200 x 2400 x 305 mm (4 x 8 pieds par 12 pouces). Cette table est placée sur un pied à chaque coin et elle est excitée par une PSD de 10-9g2/Hz. Dans ce cas idéalisé, la table se comporte comme une poutre chargée uniformément et à un seul support, et la pente maximale de la surface est reliée à la déflexion maximale de la table par la formule:
où:
θmax = pente maximale de la surface
dmax = déflexion maximale de la surface
L = longueur de la table
Dans l’exemple précédent, la déflexion maximale de la table était de 8,4 nm. La pente maximale de la table est donc:
Pour déterminer les effets potentiels, considérons un miroir plan reflétant un faisceau sur une distance de 1 m. Le déplacement du point est alors:
d = 2 x (11 x 10-9) x 1 = 22 x 10-9 m.
La déflexion du faisceau est légèrement inférieure à un millionième de pouce. Cet effet, multiplié par le nombre des miroirs composant le système et par la longueur du faisceau, peut avoir des conséquences importantes sur des résultats expérimentaux si la table n’assure pas un niveau correct de contrôle vibratoire. Par exemple, un mouvement relatif total de 0,1 mm peut sérieusement affecter la qualité d’image d’un système optique à diffraction limitée ayant une ouverture numérique de 0,25. Ce niveau de déflexion peut également réduire à néant l’exposition d’un hologramme.
Calcul de la déflexion d’un point pour une table quelconque
En combinant les équations de la déflexion du point réfléchi et de la déflexion de la table, on obtient une excellente approximation du déplacement d’un point reflété dans un miroir sur une table quelconque:
où:
d = mouvement du point réfléchi en pouces
x = distance entre le point réfléchi et le miroir, en pouces
L = longueur de la table, en pouces
Q/fn3 = coefficient de déflexion dynamique de la table
PSD = densité spectrale de puissance à la fréquence propre du plateau de table
Exemple:
A titre de contrôle, l’équation va être utilisée pour calculer le déplacement du point dans le dernier exemple. Les paramètres sont donc:
x = 1 m
L = 2,4 m
Q = 5
fn = 190 Hz
PSD = 1 x 10-9g2/Hz
Le déplacement du point réfléchi est de:
Le résultat est essentiellement le même que celui obtenu auparavant.