A propos de la compliance
La compliance d’un corps se définit comme l’amplitude du déplacement d’un point de la surface de la table par unité de force appliquée. Sous l’influence d’une force variant avec le temps, la compliance d’un corps idéalement rigide dans une dimension est proportionnelle à l’inverse du carré de la fréquence :
où :
C = compliance
x0 = déplacement
F = force appliquée
M = masse
w = pulsation d’excitation (rad/s). w = 2pf où f est la fréquence en Hz
Si l’on trace une courbe bilogarithmique, la compliance d’un corps idéalement rigide est toujours une droite de pente -2. Cette droite, appelée la droite du Corps idéalement rigide, constitue l’une des caractéristiques fondamentales de la courbe de compliance d’un plateau de table et en même temps le point de départ de l’estimation de ses performances dynamiques.
Figure 1. Compliance d’un corps idéalement rigide.Très bien, mais quelques clients ont observé que lorsqu’ils utilisent cette formule pour calculer la droite du Corps idéalement rigide d’un plateau de table, les résultats de leurs calculs sont plusieurs fois inférieurs à la droite du Corps idéalement rigide tracée sur les courbes de compliance correspondantes.
Y aurait-il des erreurs dans les données de la courbe de compliance ? Pas du tout. Cette note technique explique la “ différence ” et propose une méthode pour estimer fiablement la droite du Corps idéalement rigide pour un plateau de table.
La procédure expérimentale explique la différence.
L’écart des résultats provient d’une différence dans le point d’application de la force et dans le point de mesure de la réponse de la structure.
La force est appliquée et mesurée au centre de l’objet (Figure 2). Quand un plateau de table est mesuré expérimentalement dans ces conditions, la valeur calculée correspond effectivement aux performances expérimentales.
Figure 2. La formule idéalisée 1/Mw2 suppose que la force est appliquée et mesurée au centre de la structure rigide.
Figure 3. Dans la pratique, la compliance d’un plateau de table est testée en frappant le bord de la table, et en mesurant la réponse du plateau au même endroit.Cependant, chacun sait que la compliance du plateau de la table est la pire au niveau de ses bords, si bien que tous les fournisseurs fiables de systèmes de contrôle vibratoire appliquent les forces au bord et mesurent la réponse de la table au même endroit (figure 3). Lorsque la compliance est mesurée de cette manière, on mesure en fait deux composantes du mouvement du corps rigide en réponse à la force appliquée :
1) Mouvement du centre de gravité
Identique à la réponse de la table si la force était appliquée au centre du plateau
(à savoir
), et
2) Mouvement de rotation
dû au couple appliqué à la table lorsque la force est exercée.
Quantifier la rotation du plateau de la table
Il est possible d’estimer la composante de rotation en modélisant la table comme une barre rigide. Le couple appliqué à la barre par une force appliquée à son extrémité (figure 4) est de :
où :
t = couple
F = force appliquée
r = distance séparant du centre de gravité
l = longueur de la barre
I = moment d’inertie
L = moment cinétique
Figure 4En appliquant une force variant avec le temps et en utilisant r = l/2, nous obtenons :
Par une double intégration, nous trouvons le déplacement angulaire :
Pour de petits déplacements linéaires, on a r sin θ = r θ, donc :
Nous cherchons maintenant I, le moment d’inertie d’une barre rigide :
Donc, la composante de rotation de la barre rigide (couple) est la suivante :
Addition du déplacement du centre de gravité et de la rotation
Pour la force appliquée et le déplacement mesuré dans les conditions de la figure 3, le déplacement du centre de gravité (CM) et le déplacement de rotation du corps rigide (ROT) s’additionnent.
Donc, la compliance totale, pour une force appliquée sur le bord de la table, comme à la figure 3 et pour une mesure au même endroit, est de :
Ce résultat est exactement quatre fois la valeur de compliance prévue par le modèle simplifié (force appliquée au centre). Si la force était appliquée à l’angle de la table, des calculs analogues fondés sur une plaque rigide donneraient :
Lorsque la droite du Corps idéalement rigide est calculée en utilisant ces formules, les résultats se corrèlent bien avec les droites du Corps idéalement rigide des courbes expérimentales de compliance.
Nota : Nous remercions le Dr John Beckerle, de la Clemson University, pour son assistance dans la préparation de cette note technique.